Теория оптимального распределения ресурсов канторович суть. Реферат: Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод. Особенности жизни, деятельности, вклада в науку, экономико-математических теорий Л.В. Канторовича. Анализ на

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Севастопольский национальный технический университет

Факультет Экономики и менеджмента

На тему: Л.В. Канторович: разработка теории линейного программирования

по дисциплине «История экономики и экономической мысли»

Выполнила: ст. гр. МО-21

Ковалева С.Н.

Проверил: преподаватель

Керезь Е.С.

Севастополь 2009

1.2 Вклад в науку

1.3 Научные работы

Заключение

Введение

В этом реферате я напишу о деятельности Леонида Витальевича Канторовича, выдающегося ученого ХХ века, о его борьбе за признание своих экономико-математических теорий, о начальном этапе истории линейного программирования, о зарождении новой области математической деятельности, связанной с экономическими приложениями, называемой у нас то исследованием операций, то математической экономикой, то экономической кибернетикой и т. п., о ее месте и связях с современным математическим ландшафтом.

1. Леонид Витальевич Канторович

1.1 Биография Л.В. Канторовича

Леонид Витальевич Канторович (1912--1986) родился в Санкт-Петербурге в семье врача. Его выдающиеся способности проявились рано -- в 14 лет он поступил в Ленинградский государственный университет. Закончив ЛГУ за 4 года, он поступил в аспирантуру. В 1932 г. он становится доцентом, а в 1935 г. -- профессором ЛГУ. В 1935 г. ему присвоено звание доктора физико-математических наук без защиты диссертации. В 1958 г. он избран членом-корреспондентом АН СССР по экономике, а в 1964 г. -- академиком. За разработку метода линейного программирования и экономических моделей удостоен в 1965 году вместе с академиком В. С. Немчиновым и профессором В. В. Новожиловым Ленинской премии. С 1971 года работал в Москве, в институте управления народным хозяйством Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике. 1975 год -Нобелевская премия по экономике (совместно с Т. Купмансом «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов»). С 1976 работал во ВНИИСИ ГКНТ и АН СССР, ныне Институт системного анализа РАН.

Награждён 2 орденами Ленина (1967, 1982), 3 орденами Трудового Красного Знамени (1949, 1953, 1975), орденом Отечественной войны 1-й степени (1985), орденом «Знак Почёта» (1944). Почётный доктор многих университетов мира.

1.2 Вклад в науку

Научное наследие Л. В. Канторовича огромно. Его исследования в области функционального анализа, вычислительной математики, теории экстремальных задач, дескриптивной теории функций оказали фундаментальное влияние на становление и развитие названных дисциплин. Л. В. Канторович по праву входит в число основоположников современного экономико-математического направления.

Л. В. Канторович -- автор более трехсот научных работ, которые при подготовке аннотированной библиографии его сочинений он сам предложил распределить по следующим девяти разделам: дескриптивная теория функций и теория множеств, конструктивная теория функций, приближенные методы анализа, функциональный анализ, функциональный анализ и прикладная математика, линейное программирование, вычислительная техника и программирование, оптимальное планирование и оптимальные цены, экономические проблемы плановой экономики.

Столь впечатляющее многообразие направлений исследований объединяется не только личностью Л. В. Канторовича, но и его методическими установками. Он всегда подчеркивал внутреннее единство науки, взаимопроникновение идей и методов, необходимых для решения самых разнообразных теоретических и прикладных проблем математики и экономики. Еще одной характерной чертой его творчества является тесная взаимосвязь с наиболее трудными проблемами и самыми перспективными идеями математики и экономики того времени.

Осветить творчество Леонида Витальевича в кратко невозможно. Сам он выделял из сделанного в науке две вещи: линейное программирование и K-пространства.

1.3 Научные работы Л.В. Канторовича

Научные работы:

Первые научные результаты получены в дескриптивной теории функций и множеств и, в частности, по проективным множествам.

В функциональном анализе ввёл и изучил класс полуупорядоченных пространств (К-пространств). Выдвинул эвристический принцип, состоящий в том, что элементы К-пространств суть обобщённые числа. Этот принцип был обоснован в 1970-е годы в рамках математической логики. Булевозначный анализ установил, что пространства Канторовича представляют новые нестандартные модели вещественной прямой.

Впервые применил функциональный анализ к вычислительной математике.

Развил общую теорию приближённых методов, построил эффективные методы решения операторных уравнений (в том числе метод наискорейшего спуска и метод Ньютона для таких уравнений).

В 1939-40 положил начало линейному программированию и его обобщениям.

Развил идею оптимальности в экономике. Установил взаимозависимость оптимальных цен и оптимальных производственных и управленческих решений. Каждое оптимальное решение взаимосвязано с оптимальной системой цен.

Канторович -- представитель петербургской математической школы П. Л. Чебышёва, ученик Г. М. Фихтенгольца и В. И. Смирнова. Канторович разделял и развивал взгляды П. Л. Чебышева на математику как на единую дисциплину, все разделы которой взаимосвязаны, взаимозависимы и играют особую роль в развитии науки, техники, технологии и производства. Канторович выдвигал тезис взаимопроникновения математики и экономики и стремился к синтезу гуманитарных и точных технологий знания. Творчество Канторовича стало образцом научного служения, базирующегося на универсализации математического мышления.

канторович математика вычислительный дескриптивный

2. Зарождение линейного программирования

Линейное программирование изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование -- это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум, некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств.

Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912--1986) метода линейного программирования. Линейное программирование -- решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления программ и применения различных методов их последовательного решения, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов. Линейное программирование изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование -- это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум, некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств.

Сам термин «линейное программирование» был предложен в 1951 году американским экономистом Т. Купмансом. За разработку метода линейного программирования или, как сказано в дипломе Шведской академии наук, за «вклад в теорию оптимального распределения ресурсов Л.В.Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике (1975). Премия была присуждена ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Чарльзом Купмансом, который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную методологию.

Разработка линейного программирования началась с поиска решения практической задачи. К Канторовичу обратились инженеры фанерного треста с просьбой найти эффективный способ распределения ресурсов, обеспечивающий наиболее высокую производительность оборудования. Работники предприятия ломали голову над тем, как при пяти станках и восьми видах сырья обеспечить оптимальный вариант выпуска фанеры. Иными словами, нужно было найти решение конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией («функционалом») максимизировать выпуск готовой продукции.

Заслуга Канторовича состоит в том, что он предложил математический метод выбора оптимального варианта. Решая частную задачу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного программирования. По сути дела, он открыл новый раздел математики, получивший широкое распространение в экономической практике, способствовавший развитию и использованию электронно-вычислительной техники.

С оптимальным планом любой линейной программы автоматически связаны оптимальные цены или «объективно обусловленные оценки». Последнее громоздкое словосочетание Леонид Витальевич выбрал из тактических соображений для повышения «критикоустойчивости» термина. Взаимозависимость оптимальных решений и оптимальных цен -- такова краткая суть экономического открытия Л. В. Канторовича.

В задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители были представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков.

Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями, или мультипликаторами. С их помощью разрешается поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частности, оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть сравнительно легко найдены.

Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представляют собой не что иное, как предельные стоимости ограничивающих факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка.

Для решения задачи на оптимум Канторович использовал метод последовательных приближений, метод последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.

Допустим, требуется решить транспортную задачу, обосновать наиболее рациональное распределение грузопотоков. Для примера, всего нужно перевести 180т груза из трех источников к трем потребителям, общий спрос которых также равен 180 т. Сложность в том, что груз распределен неравномерно: у одного поставщика имеется 50 т, у другого -- 60 т, у третьего -- 80 т.

Также неравнозначен спрос потребителей: он составляет соответственно 40, 85 и 55 т. Неодинаковы и расстояния -- плечи перевозки грузов -- от 1 до 6 км. Задача заключается в том, чтобы составить такой план перевозок, который отвечал бы требованию минимизации грузооборота (минимальному количеству тонно-километров).

В повседневной практике менеджеры могут заняться монотонной работой по длительному перебору возможных вариантов. Постепенно они смогут «пройти» от плана перевозок, скажем, в 750 т/км к плану в 655 т/км. Поиск потребует массу усилий, значительного количества расчетов. Главное же -- трудно установить, какой из предлагаемых вариантов является оптимальным. Допустим, найден вариант плана с грузооборотом в 575 т/км.

Но остается неизвестным, нет ли еще одного или нескольких более выгодных вариантов плана, требующих меньших затрат.

Задача становится совсем неразрешимой, если перейти от сравнительно простой схемы к составлению варианта перевозок одного или нескольких продуктов (угля, цемента, стройматериалов) в масштабе региона или страны. Даже в случае укрупнения, агрегирования исходных показателей расчеты и сопоставления вариантов потребуют проведения такого количества операций, для осуществления которых придется привлечь чуть ли не все население Украины.

Метод линейного программирования позволяет найти оптимальное решение. Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не перемножается на другое неизвестное. Такие уравнения отражают зависимости, которые могут быть изображены на графике прямыми линиями.

Несколько иной целевой критерий в задаче о диете (кормовом рационе). Задача сводится к поиску оптимального рациона для кормления скотины или птицы. При постоянном изменении рыночных цен на корма фермеры подбирают оптимальный рацион при минимуме затрат, производя соответствующие расчеты на компьютере.

Впервые работа, в которой излагалось существо предложенного Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием «Математические методы организации планирования производства». Продолжая исследования, ученый разрабатывает общую теорию рационального использования ресурсов.

В период Великой Отечественной войны, будучи профессором Военно-морской инженерной академии в блокадном Ленинграде, Канторович, опираясь на метод линейного программирования, обосновывает оптимальное размещение производственных и потребительских факторов. В 1942 г. он подготовил книгу «Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов», которая в тот период, к сожалению, не была опубликована.

Позже издается одна из наиболее крупных его работ «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959). В этой книге, как отмечали члены Научного совета по применению математики в научных исследованиях и планировании, представлен углубленный анализ идей линейного программирования, разработанного автором ранее, и вместе с тем впервые ставится проблема разработки оптимального плана всего народного хозяйства как математической модели. Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойственных оценок в задачах линейного программирования. Нельзя одно временно минимизировать затраты и максимизировать результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода взаимосвязаны. Если, скажем, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности.

Для любой задачи линейного программирования существует сопряженная ей, или двойственная задача. Если прямая задача заключается в минимизации целевой функции, то двойственная -- в максимизации.

Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, меняются оценки. В известной мере поиск оптимума -- это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой-общественные потребности, полезности продукта для потребителей.

При непосредственном участии Канторовича и его ближайших коллег - В.В. Новожилова (автора идеи продуктово-трудового баланса) и В.С. Немчинова (обосновавшего глобальный критерий функционирования экономики) формировалась отечественная экономико-математическая школа.

Заключение

На первый взгляд, теории Л. В. Канторовича были, как он сам говорил приспособлены к плановой экономике, и т.д. Но это лишь внешняя сторона дела. Главное - учет скрытых параметров (рента), единый подход к ограничениям (труд - всего лишь одно из них) и все, что отсюда вытекает - делают его экономические приложения универсальными и необходимыми сейчас. Вообще, главный итог великого эксперимента Канторовича в том, что он подошел к экономическим проблемам вооруженный самыми современными для тех лет математическими средствами, и творчески применял их. Это не значит, что его выводы будут полностью работать и сегодня, но это, безусловно, значит, и в этом отношении Л.В. Канторович был, возможно, первым, что талант математика может в корне переустроить и преобразовать экономическую мысль.

Список использованных источников

1. История экономических учений: Учебное пособие / Под ред. А.Г. Худокормова. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - Ч. II, гл. 30.

2. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.

3. Капустин В.Ф., Шабалин Г.В. Л.В. Канторович и экономико-математические исследования: итоги, проблемы, перспективы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 5. Экономика. 1996. Вып. 2.

4. Пезенти А. Очерки политической экономии капитализма. В 2 т. - М.: Прогресс, 1976. Т. II , гл. 14.

5. Шаталин С.С. Функционирование экономики развитого социализма. - М.: Изд-во МГУ, 1982.

6. Шухов Н.С. Ценность и стоимость. - М.: Изд-во стандартов, 1994. - Ч. 2, вып. 1, гл. 8.

Подобные документы

Понятие экономической теории, предмет ее исследования, истоки возникновения и современные аспекты развития. Взаимосвязь реальной экономики и экономической теории. Кризис экономической науки. Влияние экономической теории на современную экономику России.

курсовая работа , добавлен 13.02.2008


История развития российской экономики в именах людей, внесших значительный вклад в развитие экономической науки, первыми разработавших различные методики, теории, стратегии в различных областях экономики: Л.В. Канторович, Н.Д. Кондратьев, А.В. Чаянов.

реферат , добавлен 28.02.2011


Этапы развития экономической теории. Методология научного исследования в экономической теории. Заслуга меркантилистов как первой школы экономического анализа. Сущность трудовой теории стоимости А. Смита. Положения кейнсианской экономической теории.

презентация , добавлен 22.03.2014


Изучение экономической теории, в соответствии с которой денежная масса играет определяющую роль в стабилизации и развитии рыночной экономики. Исследование деятельности и трудов основоположников теории монетаризма. Основные положения количественной теории.

презентация , добавлен 08.11.2013


Изучение теоретических аспектов истории возникновения экономической теории. Содержание предмета, этапы становления, основные функции и методы исследования экономической теории. Изучение ее современного состояния и определение перспектив развития.

курсовая работа , добавлен 11.01.2011


Вклад античных мыслителей в развитие экономической науки. История возникновения меркантилизма, классической политической экономии, марксизма, неоклассики - направлений экономической теории. Развитие теории регулируемого капитализма и институционализма.

реферат , добавлен 18.04.2012


Два основных направления общей экономической теории: изучение стоимости и прибавочной стоимости, а также эффективности производства. Общенаучные и специальные для экономической теории методы исследования. Количественный анализ и метод научной абстракции.

доклад , добавлен 11.02.2010


Знакомство с предметами и объектами исследования современной микроэкономики. Общая характеристика методов экономического анализа микроэкономической теории. Рассмотрение уровней экономической науки. Особенности специфики микроэкономического подхода.

дипломная работа , добавлен 08.01.2015


Предмет экономической теории. Зарождение и развитие экономической теории. Экономические законы и экономические категории. Различные подходы к анализу экономической динамики. Основные функции и методы исследования экономической теории.

курсовая работа , добавлен 21.04.2006


Экономические учения меркантилизма, марксизма, кейнсианства, неолиберализма, монетаризма и анституционализма. Изучение теории рынков и кризисов М. Туган-Барановского, основы инвестиционной теории циклов М. Кондратьева. Разработка методологии планирования.

«В 1937 г. директором НИИ математики и механики, созданного при университете в 1932 г., стал В. И. Смирнов, который передал руководство отделом математики Л. В. Канторовичу . С этой новой должностью были связаны большие изменения во всей его жизни. Всё началось с обычной научной консультации производственникам.

В 1938 г. к Канторовичу обратились сотрудники Фанерного треста, изучавшие способы повышения полезной загрузки производственных мощностей. По математической классификации у них возникла экстремальная задача - задача на максимум некоторой простой функции от большого числа переменных. Консультируя их, Леонид Витальевич сразу увидел (это просто), что классические методы решения в этой задаче не могут дать эффективного решения. Он разработал и предложил новый, более эффективный метод. В основе его метода было использование специальных величин (множителей), обобщающих хорошо известные в математике множители Лагранжа . Но сама консультационная задача была только толчком к исследованиям. Канторович стал думать о похожих ситуациях и вскоре увидел многочисленные применения таких моделей и таких методов в различных экономических и технико-экономических ситуациях. Анализируя свойства упомянутых множителей в этих моделях, он провёл замечательные аналогии между множителями и экономическими показателями, специфичными для конкретных моделей, своего рода «внутренними ценами» экономических ситуаций, даже таких ситуаций, в которых цен не было. Интересно, что к похожим выводам (без использования математических моделей) пришёл примерно в то же время и ленинградский экономист Виктор Валентинович Новожилов (1892-1970).

Попытаюсь объяснить, что же мог сделать в экономике математик, не владевший даже правильным (и ужасным, по-моему) экономическим языком. Начнём с практического вопроса, одного из тех, которые задавал себе Канторович. Предприятие может увеличить выпуск своей продукции, увеличив при этом себестоимость (то есть затраты на единицу продукции). Выгодно ли это делать, и если да, то в какой мере? Советская экономическая наука и практика отвечали на этот вопрос отрицательно: ни в коем случае.

Как же ответил на этот вопрос Канторович? Если рынок нуждается в данной продукции и платит за неё больше себестоимости данного предприятия, то увеличение выпуска выгодно, вопреки тогдашним экономическим воззрениям. Размер спроса на продукцию устанавливает её граничную («маргинальную») цену и соответствующую ей граничную себестоимость. Выгодно любое производство, себестоимость в котором меньше этой границы. Сейчас это очевидно и элементарно (если в рассмотрение не входят более сложные факторы).

В советские времена «рыночные аргументы» были противопоказаны, а слово «маргинальный» (или «маржинальный») запрещено. Кроме того, объём выпуска продукции диктовался планом, и связывать его с выгодностью не рекомендовалось. Но и в такой ситуации можно позаботиться об эффективности. Представим себе, что данную продукцию выпускают несколько предприятий и себестоимости у них различны и зависят от объема выпуска. И в этом случае найдётся граничное значение себестоимости, определяющее эффективные объёмы выпуска: ни у одного предприятия себестоимость не должна превышать этого граничного значения, а с меньшей себестоимостью предприятие выпускает продукцию только в случае, когда рост её производства невозможен. Это, конечно, самый простой из подобных вопросов. Но уже в нём появляется новый важный показатель - граничная себестоимости продукции. Всё дело в таких показателях. Канторович установил, что такие вспомогательные показатели возникают во многих случаях, где приходится делить ограниченные ресурсы. Они возникают из математического анализа задачи, но оказываются очень полезными для экономического исследования практической ситуации, так как всегда им можно придать ясный (хотя и непривычный) экономический смысл.

Одна из рассмотренных Канторовичем ситуаций - транспортная задача. В ней нужно определить, откуда, куда и сколько везти, если заданы сбалансированные объёмы производства и потребления однородного продукта. Возникающие показатели трактуются как транспортные цены продукта во всех пунктах сети, а перевозка идет только по тем направлениям, где стоимость перевозки равна разности этих цен в пунктах назначения и отправления, причём меньше этой разности стоимость нигде не будет - так уж устроены цены. Получающиеся транспортные цены зависят от конкретной задачи. Они не связаны с условиями производства, но подсказывают экономисту, где при данном спросе и данном наборе себестоимостей выгодно увеличить производство, а где его желательно уменьшить.

В мае 1939 г. Канторович сделал в университете доклад о своих результатах, и с поразительной оперативностью издательство ЛГУ выпустило этот доклад отдельной брошюрой осенью того же года. Почти сразу же Канторович стал работать над развернутым изложением своей теории. Эта работа продолжилась и во время войны. […]

Леонид Витальевич добился того, что в Москве в Госплане СССР было организовано совещание, на котором он изложил свои идеи, но отрицательный итог этого совещания был предопределён. Канторович вспоминал: «Всё говорило о том, что необходимо на определённое время оставить эти работы. Их продолжение становилось опасным - как я узнал впоследствии, мои предположения были небезосновательными. Вариант моей изоляции всерьёз обсуждался».

Разумовский И.В., Л.В. Канторович: «Разумное обобщение даёт больше, чем детальное исследование, в Сб.: Знаменитые универсанты: очерки о питомцах Санкт-Петербургского университета, Том 3, СПб, «Знаменитые универсанты», 2005 г., с. 461-462.

Л.В. Канторович - экономист - внес выдающийся вклад в экономическую науку. С его именем связан естественнонаучный подход к исследованию широкого круга проблем планирования. Л.В. Канторович заложил фундамент современной теории оптимального планирования. Развернутому изложению основных идей этой теории посвящена его капитальная монография “Экономический расчет наилучшего использования ресурсов” . Стержнем этой книги является формулировка основной задачи производственного планирования и динамической задачи оптимального планирования. Указанные задачи достаточно просты, но в то же время учитывают важнейшие черты экономического планирования. Одно из привлекательных качеств состоит в том, что они базируются на схеме линейного программирования и, следовательно, на развитом аналитическом аппарате и обширном наборе эффективных вычислительных средств, часть из которых предложил сам Леонид Витальевич.

Значителен его вклад в проблему ценообразования - одну из коренных, затрагивающую, по существу, все сферы функционирования общества. Л.В. Канторович установил связь цен и общественно-необходимых затрат труда. Он дал определение понятия оптимума, оптимального развития, конкретизировав, в частности, что следует понимать под максимальным удовлетворением потребностей членов общества. Из его положения о неразрывности плана и цен вытекает зависимость общественно-необходимых затрат труда от поставленных целей общества.

Таким образом, цели общества, оптимальный план и цены составляют одно неразрывное целое. Им указаны конкретные условия, при которых объективно обусловленные оценки оптимального плана совпадают с полными (прямыми и сопряженными) затратами труда. Определение перспектив экономики, наличие гигантских “естественных монополий” заставляет сохранить для них расчет, по крайней мере, опорных цен, согласованных и взаимно, и с интересами других отраслей экономики.

Математические модели получили отражение в некоторых курсах политической экономии. В работах Л.В. Канторовича исследовался ряд основных проблем экономической теории и практики хозяйствования. Указывая на недостатки действовавшей экономической системы, Л.В. Канторович подчеркивал, что система экономических показателей должна быть единой, построена по единому принципу. В связи с этим значительную часть своих работ в этой области Леонид Витальевич посвятил разработке и анализу конкретных экономических показателей.

В работах самого Л.В. Канторовича особое внимание было уделено оценке земельных ресурсов и воды, учету этих показателей в (заготовительных) ценах на сельскохозяйственную продукцию. Предложены оригинальные подходы к их расчету (сочетание метода наименьших квадратов и линейного программирования). На этой основе были даны рекомендации по улучшению системы экономических показателей и расчетов в сельском хозяйстве. Значение предложенных им принципов расчета в складывающейся экономической системе только возрастает.

В работах Л.В. Канторовича вскрывается сущность понятия показателя эффективности капиталовложений, показывается его роль в экономических расчетах принятия решений, предлагается методика определения величины этого нормативного показателя. Таким образом, Л.В. Канторович дал убедительное научное обоснование необходимости применения норматива эффективности и на основе оптимизационного подхода дал объективный путь его расчета.

В работе “Амортизационные платежи при оптимальном использовании оборудования” (1965) Л.В. Канторовичем была вскрыта сущность понятия амортизации. Он показал, как можно повысить эффективность использования оборудования, разделив амортизационные платежи на два типа, и с помощью остроумной математической модели указал, как определить численную величину коэффициента амортизационных отчислений. Это изменение позволило сделать ряд принципиальных выводов о необходимости корректировки принятой методики расчета амортизации.

Специальный интерес проявлял Леонид Витальевич к проблемам транспорта. Еще в его первых экономических работах были даны общий анализ транспортной задачи и метод потенциалов для ее решения. Этот метод широко использовался на транспорте (железнодорожном, автомобильном, морском, воздушном) и в органах централизованного снабжения для рационального прикрепления и рациональной организации перевозок. Он, безусловно, сохраняет свое значение и сейчас наряду с широко используемыми методами диспетчерского управления и расчетами маршрутов.

В работах “Об использовании математических моделей в ценообразовании на новую технику” (1968) и “Математико-экономический анализ плановых решений и экономические условия их реализации ” (1971) Л.В. Канторович исследовал проблему эффективной работы транспорта с экономической точки зрения, показал, каковы должны быть транспортные тарифы в зависимости от вида транспорта, груза, расстояний и т. д. В ряде работ им рассматривались и вопросы комплексной транспортной системы - взаимосвязь транспорта с другими отраслями народного хозяйства и распределение перевозок между видами транспорта с учетом экономичности и в особенности энергозатрат. Эти работы сохраняют свое значение и сейчас.

Помимо проблем народнохозяйственного планирования, Л.В. Канторович рассмотрел вопросы, относящиеся к отраслевому планированию. Наиболее простой и часто используемой является предложенная им модель, базирующаяся на транспортной задаче. На ряд более сложных моделей, в частности производственно-транспортной, динамической, декомпозиционной, им указано в работах, посвященных текущему и перспективному отраслевому планированию (“Возможности применения математических методов в вопросах производственного планирования”, 1958) и др. Эти вопросы нашли отражение в исследованиях по отраслевым АСУ.

Большое внимание Леонид Витальевич уделял вопросам рационального использования труда. Им было предложено введение платежей предприятий за использование труда дифференцированных по профессиям, половозрастным признакам и территории. Он указывал также на возможности научного, количественного подхода к социальным проблемам, вопросам совершенствования сферы услуг и др. Вопросы экономического стимулирования рационального использования трудовых ресурсов остаются актуальными и сейчас.

В течение ряда лет и особенно в последние годы Л.В. Канторовича интересовали проблемы эффективности технического прогресса, в частности вопросы внедрения в производство новой техники.

Особый интерес представляет обоснование предложения об установлении двух уровней цен на принципиально новую продукцию в первые годы ее выпуска. Важное значение имел также вывод о необходимости более высоко оценивать вклад в национальный доход технического прогресса и науки, чем это получалось по принятым тогда методам расчета (“Ценообразование и технический прогресс”, 1979).

Л.В. Канторович уделял большое внимание внедрению разработанных им методов в экономическую практику. В первую очередь в этой связи следует отметить цикл работ, посвященных методам рационального раскроя материалов, начатый Леонидом Витальевичем еще в 1939 - 1942 гг. В 1948 - 1950 гг. эти методы были внедрены на Ленинградском вагоностроительном заводе имени Егорова, на Кировском заводе и распространены впоследствии на некоторых других предприятиях. Более широкому распространению методов рационального раскроя способствовал ряд проведенных по инициативе Л.В. Канторовича совещаний.

С 1964 г. по предложению Леонида Витальевича проводилась большая работа по внедрению системных методов расчета оптимальной загрузки прокатных станов в масштабах всей страны.

Являясь членом Государственного комитета по науке и технике, Л.В. Канторович вел большую организационную работу, направленную на совершенствование методов планирования и управления народным хозяйством. Он возглавлял Научный совет ГКНТ по использованию оптимизационных расчетов, состоял членом многих ведомственных советов и комиссий (по ценообразованию, транспорту и др.). Вклад Леонида Витальевича в исследование проблемы эффективности производства и, в частности, проблемы эффективности капитальных вложений исключительно велик.

До середины ХХ в. экономисты-теоретики игнорировали математические модели исследования. Однако, несмотря на притеснения, математики продолжали работать и достигли блестящих результатов. Среди них - представители математической школы Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс.
Канторович (Kantorovich) Леонид Витальевич (1912-1986) - советский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Петербурге, учился в Ленинградском университете. В 1930 г. Л. Канторович был участником Всесоюзного математического съезда. В этом же году закончил университет, а уже через четыре года ему присвоили звание профессора. В 1930-1939 гг. работал в Ленинградском институте инженеров промышленного строительства, потом (до 1948) - заведующим кафедрой Высшего инженерно-технического училища.
В 1935 г. стал доктором физико-математических наук; до 1960 г. он - профессор Ленинградского университета. Ему принадлежат первоклассные результаты по функциональному анализу, теории функций, вычислительной математике. Широкое признание приобрели его работы по дескриптивной теории функции и теории множества, по конструктивной теории функций, приблизительным методам анализа; он заложил основы нового направления функционального анализа - теории полуупорядоченных векторных пространств, которые названы «К-пространствами». Феномен Л. Канторовича в том, что он одновременно был талантливым математиком и экономистом, который внес коррективы в понимание экономических явлений, расширил экономическое мышление, стал основоположником оригинальной экономической школы.
В 1958 г. вместе с В. Немчиновым Л. Канторович создал Лабораторию по внедрению статистических и математических методов в экономике.
Л. Канторович принимал участие в создании Сибирского отделения Академии наук СССР. Осенью 1960 г. в Ленинграде возглавил группу математиков и экономистов, которая переехала в Новосибирск и вошла в состав Института математики Сибирского отделения АН СССР как математико-экономический отдел. Одновременно работал профессором Новосибирского университета. В 1971 г., переехав в Москву, ученый возглавлял Проблемную лабораторию в Институте управления народным хозяйством Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике.
Является автором работ: «Методы приблизительного решения дифференциальных уравнений в частных производных» (в соавторстве с В. Крыловым) (1963), «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (в соавторстве с Б. Вулихом и А. Пинскером) (1949), «Функциональный анализ и прикладная математика» (1948), «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), «Функциональный анализ в нормированных пространствах» (в соавторстве с Г. Акиловым), «Динамическая модель оптимального планирования» (1967), «Ценообразование и технический прогресс» (1979) и др.
Л. Канторович - почетный член Международного Эконометрического общества, почетный доктор Гренобльского, Хельсинского, Йельского, Парижского, Кембриджского, Пенсильванского университетов, а также университетов в Варшаве, Глазго, Мюнхене, Ницце и имени Мартина Лютера в Халле, Статистического института в Калькутте. Награжден двумя орденами Ленина.
Важнейшим вкладом Л. Канторовича явилась теория оптимального распределения ресурсов.
Теория оптимального распределения ресурсов - теория, которая предусматривает формулирование статистической и динамической моделей текущего и перспективного планирования использования ресурсов на базе новых математических подходов в сфере системного построения экономических показателей, используемых для анализа ценообразования, эффективности капитальных вложений.
Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов он изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней он представил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Именно в это время ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимозависимых компонентов неделимой двойственности. Ведь время невозможно одновременно минимизировать издержки и максимизировать результаты. Одновременно эти два подхода взаимосвязаны: если найдем оптимальную схему перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если определим оптимальные значения цен, то сравнительно легко получить схему перевозок, что соответствует требованиям оптимальности.
Основой этой теории является метод линейного программирования.
Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) путем сложения программ и внедрения разных методов их последовательного решения, что существенно облегчает расчеты и достижение результатов.
Его началом стал поиск решения практической задачи. В 1937 г. к профессору Ленинградского университета Л. Канторовичу обратились инженеры местного фанерного треста с просьбой найти эффективный способ для обеспечения наивысшей производительности труда. Для обработки 5 видов материала выделили 8 станков с определенной производительностью каждого из них по каждому виду материала.
Другими словами, нужно было решить конкретную технико-экономическую задачу с целевой функцией («функционалом») - максимизировать выпуск готовой продукции. Известными на тот момент методами это сделать было трудно, поскольку было необходимо решить почти миллиард алгебраических уравнений. Л. Канторович предложил метод линейного программирования, который стал новым разделом в математике и получил признание в экономической практике, способствовал развитию и использованию электронно-вычислительной техники.
Ученый понимал важность создания математической основы для решений типовой хозяйственной задачи. Условия задачи на оптимальность и цель могут выражаться с помощью системы линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не умножается на другое неизвестное. Такие уравнения выражают зависимости, которые можно изобразить на графике прямыми линиями. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, то задача имеет несколько вариантов решения, а найти необходимо один.
В задаче по оптимизации выпуска фанеры Л. Канторович ввел переменную, которую следует максимизировать, в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничения были изложены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми факторами, затрачиваемыми в производстве (деревом, клеем, электроэнергией, рабочим временем), и количеством произведенной продукции (фанеры) на каждом станке. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные «решающими множителями» (мультипликаторами). С их помощью решается поставленная задача. Если значения решающих множителей известны, то необходимые величины, в частности оптимальный объем производимой продукции, можно сравнительно легко найти.
Л. Канторович обосновал экономическую сущность предлагаемых им решающих множителей. Они, собственно, являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимальность ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Внедренный Л. Канторовичем термин «решающие множители» в более поздних трудах получил несколько другую интерпретацию и другую формулировку - «объективно обусловленные оценки». Эти оценки не произвольны, их величины объективно обусловлены, они задаются конкретными условиями задачи. Значения этих оценок подходят только для конкретной задачи и, в отличие от цен, задаются не извне, а определяются самим предприятием для внутреннего пользования. Ученый предлагал рассчитать их в разработке планов; на эти показатели могут опираться предприятия при расчете затрат и объемов производства продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Внедренные
в практику планирования и управления такие расчеты должны оптимизировать использование ресурсов.
Задачи линейного программирования были известны еще в конце ХVIII в. Однако начали решать их только после публикаций работ Л. Канторовича. В США исследования по линейному программированию начались только в конце 40-х годов ХХ в. Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига, которые близки по характеру к методу решения задач линейного программирования Канторовича, были разработаны на десятилетие позднее.
На оригинальный подход Л. Канторовича до 50-х годов почти не реагировали. Обобщив свои исследования, он расширил сферу анализа.
В работе «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» и в следующих работах он внедрил свой метод линейного программирования для исследования широкого круга проблем планирования, в том числе и на национальном уровне.
Несколько позднее, но независимо от Л. Канторовича подобную методологию предложил Т.-Ч. Купманс.
Купманс (Koopmans) Тъяллинг-Чарльз (1910-1985) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Гравеланде (Нидерланды). Получил образование в Утрехтском университете. Увлекался сначала математикой и физикой, работал физиком, а под впечатлением от Великой депрессии начал заниматься экономикой.
С 1934 г. в Амстердамском университете изучал проблему общего равновесия. Докторскую диссертацию на тему «Линейный регрессивный анализ экономических временных рядов» защитил в 1936 г. в Лейденском университете. Преподавал экономику и занимался научно-исследовательской деятельностью в Нидерландском экономическом институте в Роттердаме.
В 1938-1940 гг. работал экспертом Лиги Наций по вопросам денежного оборота. Эмигрировал в США. Преподавал в Нью-Йоркском, Чикагском, Гарвардском университетах. С 1955 г. - профессор экономики Йельского университета. В 1950 г. был избран президентом Международного эконометрического общества, а в 1978 г. - президентом Американской экономической ассоциации.
Т.-Ч. Купманс был редактором и соавтором одного из первых фундаментальных трудов по линейному программированию «Анализ деятельности производства и распределения» (1951).
Ученому принадлежат важные достижения в разработке теории капитала, операционного анализа. Отдельные свои труды он посвятил оптимальному распределению производственных ресурсов, статистической оценке параметров в экономико-математических моделях.
Его детище - работы по статистике и математической экономике. Наибольшее признание получили работа «Анализ деятельности производства и распределения», подготовленная группой авторов под его руководством, а также работы «Статистическое заключение в динамических моделях экономики» (1950), «Три эссе о состоянии экономической науки» (1957) и др.
Т.-Ч. Купманс - заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный профессор Йельского университета, ему присвоены почетные ученые степени Нидерландской школы экономики, Северо-Западного и Пенсильванского университетов, Католического университета Лувена.
В 1944-1945 гг. по поручению англо-американского объединенного совета по регулированию мореплавания Т.-Ч. Купманс разработал план торгового мореплавания, который минимизировал возможность опасного торпедирования пустых грузовых суден фашистскими подводными лодками. Целью была минимизация холостого пробега суден.
Эту тему он затронул в работе «Соотношение между грузопотоками по различным маршрутам» (1942). Ученый показал, что проблему следует рассматривать как линейную функцию максимизации в пределах многих ограничений. Ограничения представил математическими уравнениями, которые выражают отношение количества затраченных факторов производства (амортизации суден, времени, трудовых затрат) к количеству доставленных в разные пункты назначения грузов. При этом величина любых затрат не может превышать явную сумму стоимости грузов, доставленных в каждый порт. Ученый пришел к выводу, что суть принципа линейного программирования заключается в том, что в оптимальном случае и по идеальным оценкам всех ресурсов издержки и результаты будут равными.
Работая в британской торговой миссии в Вашингтоне, Т.-Ч. Купманс использовал математический инструментарий и создал метод определения оптимального распределения ресурсов между конкурирующими потребителями. По этому методу можно было, например, рассчитать издержки на доставку миллионов тонн грузов, которые перевозятся тысячами суден морскими путями в сотни портов. Метод Т.-Ч. Купманса, который был назван «анализом деятельности фирмы», вошел в общую методологию линейного программирования.
В 1947 г. ученый озвучил свои выводы на международной конференции по статистике. В то время он активно разрабатывал и популяризировал методы линейного программирования. При его содействии в 1949 г. в Чикаго была проведена первая специальная конференция по линейному программированию.
В 1950 г. Т.-Ч. Купманс вместе со своими сторонниками завершили формулирование метода анализа деятельности фирмы. Модели этого типа так же, как и межотраслевые, линейные, однако у них каждый вид производственной деятельности может быть связан с выпуском нескольких товаров. К тому же существует возможность выбора между разными технологиями производства каждого вида продукции. Производственная модель типа анализа деятельности фирмы, как правило, содержит больше степеней свободы, чем обычная модель межотраслевого баланса, благодаря чему появляются естественные возможности для оптимизации. Именно поэтому анализ деятельности фирмы развивался в тесной связи с линейным программированием.

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Князева А., Лыкова Н.П.

ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет»

Филиал в г. Самаре

постановка Задач линейного программирования и их решение с помощью msexcel

Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича "Математические методы организации и планирования производства". Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.

Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за "вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике".

Было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик А. Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк:

задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

задача о смесях (планирование состава продукции);

задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

целевая функция: F(x)= c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max(min) (1)

ограничения:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn {≤ = ≥} b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn {≤ = ≥} b 2 , (2)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn xn {≤ = ≥} b m ;

требование неотрицательности: x j ≥ 0, j = 1, 2,……, n (3)

При этом a ij , b i , c j (I = 1, 2, ….., m; j = 1, 2,……, n) - заданные постоянные величины .

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1) при соблюдении ограничений (2) и (3).

Систему ограничений (2) называют функциональными ограничениями задачи , а ограничения (3) - прямыми .

Вектор, удовлетворяющий ограничениям (2) и (3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным .

Задачи линейного программирования можно решать вручную, т.е. алгебраически и графически, а можно при помощи MS Excel. Эта программа позволяет быстро и легко решить задачи линейного программирования.

Разберём решение таких задач на конкретном примере:

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Запишем математическую модель:

Х шт – лисицы, У шт - песцы

16x+12y - max (1)

Решение данной задачи аналитически сводится к решению системы из трёх неравенств (2-4), выражая значение одной переменной через другую получаем:

х  90 – 1,5у

4(90 – 1,5у) + у  240

6(90 – 1,5у) + 7у  426

х 1  54 х 2  4,5

у 1  24 у 2  57

причём х 2 и у 2 не удовлетворяют решению, т.к. количество зверей не может быть дробным числом.

Следовательно, целевая функция будет равна: 1152

Однако, с помощью MS Excel решение гораздо проще и быстрее.

Для решения задачи в MS Excel, необходимо создать таблицу с исходными данными (рис. 1)

Рис.1 – Таблица с исходными данными (задача на оптимизацию производства)

Затем с помощью встроенных функций MS Excel (=СУММПРОИЗВ) ввести ограничения и целевую функцию (рис.2)

Рис. 2 – ограничения и целевая функция

После того, как все ограничения и целевая функция введены, следует воспользоваться встроенной программой MS Excel Поиск решения (рис. 3), в которой также вводятся целевая функция, ограничения, а также изменяемые ячейки (т.е. неизвестные переменные).

Рис. 3 – Поиск решения

Однако прежде чем приступить к решению необходимо также во вкладке параметры поиска решения задать: линейная модель, неотрицательные значения и автоматическое масштабирование (рис. 4)

Рис. 4 – Параметры поиска решения

После завершения ввода всех ограничений и параметров мы получаем искомое решение задачи (рис. 5)

Рис. 5 – Итоговая таблица, с полученным решением

На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.

Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением, – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и, следовательно, на оптимальное решение.

Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

1) на сколько можно увеличить или уменьшить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

2) на сколько можно уменьшить или увеличить запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ?

2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?

3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

MS Excel позволяет делать отчет по результатам, который состоит из 3 таблиц:

1 – Целевая ячейка. В ней отображается начальное значение целевой функции и оптимальное (результат).

2- Изменяемые ячейки. В ней отражены исходные значения переменных и результирующие (оптимальные). Если продукт не входит в оптимальное решение (равен 0), то он считается не рентабельным.

3- Ограничения. Кроме имени ограничения, ячейки, в которую вписана левая часть ограничения, в ней отображены столбцы:

Значение – значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.

Формула – отображается знак ограничения (больше или равно, меньше или равно и т.д.)

Статус – отображено Связанное или не связанное ограничение. Если статус связанное, то ресурс использован полностью. Если же статус – не связанное, то ресурс использован не полностью.

Разница – отображено количество оставшегося не использованным ресурса.

А также отчет по устойчивости, который состоит из 2 таблиц:

1 – изменяемые ячейки. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:

Результирующее значение – это оптимальный план.

Нормированная (редуцированная) стоимость – показывает, на сколько изменится целевая функция после принудительного включения единицы этой продукции в оптимальный план. Если продукт рентабелен, то нормированная стоимость будет равна 0.

Целевой коэффициент – значения коэффициентов целевой функции.

Допустимое увеличение, допустимое уменьшение – показывает границы изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

2 – Ограничения. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:

Результирующее значение - значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.

Теневая цена – изменение целевой функции при изменении дефицитного ресурса на 1 единицу. Теневая цена недефицитного ресурса будет равна 0.

Ограничение Правая часть – запас ресурса.

Допустимое увеличение, допустимое уменьшение - показывает, на сколько можно изменить правую часть ограничения до того момента пока это будет влиять на целевую функцию.

Удобство использования MS Excel для решения задач линейного программирования заключается в том, что:

создав один раз таблицу, её можно применять для задач такого же типа изменяя только исходные данные;

все необходимые для решения задачи формулы уже представлены в MS Excel;

решение задачи занимает в несколько раз меньше времени, нежели её же решение вручную;

точность решения гораздо выше, чем вручную, а погрешности сведены к минимуму.

Единственным минусом решения задач линейного программирования с помощью MS Excel может быть: отсутствие полного решения, т.е. поиск решения сразу выдаёт готовый ответ, не показывая все вычисления, что в принципе не является целью решения задачи.

Список литературы:

А.Г.Трифонов. Примеры решения оптимизационных задач // 2008

Попова Н.В. Математические методы // М.:ВТК. – 2005

Лыкова Н.П., Князева А ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL // Научный электронный архив.
URL: (дата обращения: 26.12.2019).